对数函数教学设计

●教学目标

（一）教学知识点

1.对数函数概念.

2.对数函数的图象和性质.

（二）能力训练要求

1.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象和性质.

2.培养学生数形结合的意识.

（三）德育渗透目标

1.用联系的观点分析问题，认识事物之间的相互转化.

3.了解对 数函数在生产实际中的简单应用.

●教学重点w    W w . X k b 1.c  O m

对数函数的图象和性质

●教学难点

对数函数的图象和性质的应用

●教学过程：

一、 问题情境

1、情境：我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题.某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=2^x表示.新 课  标  第  一 网

2、问题：现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞？

这个问题就相当于已知y=2^x 中的y求x，我们将y=2^x改写成对数式为y=log₂x，对于每一个给定的y值，都有唯一的x值与之相对应。把y看作自变量，分裂次数x就是细胞个数y的函数。这样就得到了一个新的函数。习惯上，仍用x表示自变量，用y表示它的函数。上面的这个函数就写成y=log₂x。

二、 新授：

1、对数函数概念：

一般地，函数 （a＞0且a≠1）叫做对数函数.

思考1：函数 （a＞0且a≠1）与函数 （a＞0且a≠1）的定义域、值域之间有什么关系？ （函数 （a＞0且a≠1）的定义域、值域分别是函数 （a＞0且a≠1）的值域和定义域）

2、对数函数的图像与性质：w   w w .x k b 1.c o m

①学生自主活动探究

在同一坐标轴下画出对数函数 与指数函数 的图像观察图像有什么特征？

思考2：一般地，当a＞0且a≠1时，函数 与函数 的图像有什么关系？

（函数 与函数 的图像关于直线y=x对称）

总结：我们发现函数 （a＞0且a≠1）的定义域 、值域分别是函数 （a＞0且a≠1）的值域和定义域，它们的图像关于直线y=x对称。这样我们把 称为 的反函数，同样 称为 的反函数。一般地，如果函数 存在反函数，那么它的反函数记作

在同一坐标轴下画出对数函数 与 的图像，并观察函数图像，说说图像的特征。并且说明这两个函数的相同性质和不同性质.

相同性质：两图象都位于y轴右方，都经过点（1，0），这说明两函数的定义域都是（0，+∞），且当x= 1,y=0.

不同性质：y=log₃x的图象是上升的曲线，y= 的图象是下降的曲线，这说明前者在（0，+∞）上是增函数，后者在（0，+∞ ）上是减函数.

思考3：对照指数函数的性质，从特殊到一般，抽象出对数函数 （a＞0且a≠1）有哪些性质？

②师生共同归 纳 ：

三、数学应用：

［例］比较下列各组数中两个值的大小：

（1）log₂3.4,log₂8.5  (2)log_0.31.8,log_0.32.7 (3)log_a5.1,log_a5.9(a＞0,a≠1)

分析：此题主要利用对数函数的单调性比较两个同底数的对数值大小.

解：（1）考查对数函数y=log₂x，因为它的底数2＞1，所以它在（0，+∞）上是增函数，

于是log₂3.4＜log₂8.5

(2)考查对数函数y=log_0.3x,因为它的底数0＜0.3＜1,所以它在（0，+∞）上是减函数，于是log_0.31.8＞log_0.32.7

［师］通过例2（1）、（2）的解答，大家可以试着总结两个同底数的对数比较大小的一般步骤：

（1）确定所要考查的对数函数；（2）根据对数底数判断对数函数增减性；（3）比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.

解：（3）当a＞1时，y=log_ax在（0，+∞）上是增函数，于是log_a5.1＜log_a5.9

当0＜a＜1时，y=log_ax在（0，+∞）上是减函数，于是log_a5.1＞log_a5.9

评述：对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明，因此需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握.

（4）log₆7,log₇6  （5)log₃π,log₂0.8

分析：由于两个对数值不同底，故不能直接比较大小，可在两对数值中间插入一个已知数，间接比较两对数 值的大小.

解：（4）∵log₆7＞log₆6=1，log₇6＜log₇7=1，∴log₆7＞log₇6

（5）∵log₃π＞log₃1=0，log₂0.8＜log₂1=0,∴log₃π＞log₂0.8

评述：例3仍是利用对数函数的增减性 比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小，例3（2）题也可与1比较.

（6）log_0.13,log_0.23

分 析：利用对数函数的图像进 行比较。

解：作出函数log_0.13,log_0.23的图像，由图像可知log_0.13> log_0.23

注：同真数的比较大小, 常借助函数图象进行比较

四、练习：比较下列各题中的两个值的大小

（1）log₁₀6，log₁₀8  

(2)log_0.56,  log_0.54

(3)

(4)            （5）log₂0. 7  

   (6)log₂0.5,log₅0.5

五、课时小结新 课  标  第  一 网

1、掌握对数函数 的图象与性质，并能利用对数函数的性质解决一些简单问题，如求对数形式的复合函数的定义域问题.

2、利用对数函数的单调性比较两对数大小的方法，并要能够逐步掌握分类讨论的思想方法.

六、课后作业：

   P．69 NO.3    P.70 NO. 3  NO.7    （另补充）