[学习要求]

1．了解导数在解决实际问题中的作用．

2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．

[学法指导]

1．在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．

2．感受导数知识在解决实际问题中的作用 ，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力.

1．生活中经常遇 到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为__________．

2．利用导数解决优化问题的实质是___________ _．

3．解决优化问题的基本思路是

上述解决优化问题的过程是一个典型的__________过程．

探究点一　面积、体积的最值问题

问题　如何利用导数解决生活中的优化问题？

例1　学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖 向张贴的海报，要求版心面积为128 dm²，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空 1 dm.如何设 计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？

跟踪训练1　如图，四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域,地域内有一条河流MD，其经过的路线是以AB的中点M为顶点且开口向右的抛物线( 河流宽度忽略不计)．新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园P QCN，问如何施工才能使游乐园的面积最大？并求出最大面积．

探究点二　利润最大问题

导引　(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道 理吗？(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

例2　某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr²分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径，已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大 半径为6 cm.(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？新课 标第 一 网

跟踪训练2　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)²，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为[来源:Z,xx,k.Com]

5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千 克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

探究点三　费用(用材)最省问题

例3　已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8<v≤v₀)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当

v＝12 km/h时，每 小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？

跟踪训练3　现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方、成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．

(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；

(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？

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[达标检测]

1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为(　　)xkb1.com

A．4             B．6             C．4.5                D．8

2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获 得最大收益，则x的取值为        (　　)

A．0.016 2                                       B．0.032 4

C．0.024 3                                       D．0.048 6

3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式

可以表示为y＝x³－x＋8( 0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？x k b 1 . c o m