白泉高中 学校校本培训活动设计

学校校本培训活动记载

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《如何减少解析几何失分》策略探讨

定义、定理是对数学对象的本质属性的概括和内在规律的揭示，只有深刻地理解概念的本质和定理所揭示的内在规律，才能灵活运用它来简化解题过程．有的问题虽可以不依赖于定义，但如能回到定义，则常能使问题获得简捷的解法，波利亚就提倡“回到定义”．

例1　一直线被两直线 ： 和 ： 截得的线段的中点恰好是坐标的原点．求这条直线的方程．

简析略解：此题的一般求解思路是：先求出 分别与 、 的交点（用 表示），然后利用中点坐标公式求出 ，进而得到 的方程，这样运算量太大．如果我们对直线与方程的定义有深刻的理解，就会自觉地利用定义，并结合运用设而不求的技巧来寻求简捷解法．

设 分别与 、 交于点 、 ，又设 的坐标为（ ），则有 ①

又因为 、 关于 对称，所以点 的坐标为（ ），则有 ②

①×２＋②，得 ．

可见 ）在 ： 上，又此直线过原点，由两点确定一直线知所求直线的方程为 ．

例2　已知 分别是椭圆 的左右焦点， 是该椭圆上的一动点， 是 的外角平分线， 于 ，求动点 的轨迹方程．

略解：设 ，延长 和直线 相

交于 ，则 ，且 ≌ ．

　　所以 ， ，

由椭圆的定义得： ．

所以　 ，　即

所以，动点 的轨迹方程为 ．

２．设而不求

例３ 　已知 的三个顶点都在椭圆 上，若 ， 重心是椭圆的右焦点，求直线 的方程．

简析略解： 因 为椭圆的短轴的顶点，右焦点 为 重心，所以 的坐标与三顶点 的坐标有关，故设 ，则

又因为 在椭圆上，故

由①、②、③、④求出Ｂ、Ｃ两点的坐标，再求直线 的方程．

对思维监控评价：这里解题的方向是正确的，但通过四个方程来求出四个坐标的运算是比较麻烦的，能否有比较简单的途径呢？

由③－④得： ．

由题意知： ，将①、②整体代入得　 ，

这个正好是直线 的斜率　 ，

而 的中点坐标 ，即 ，

所以直线 的方程为： ．

问题之所以得到简捷地解答，就是用了设而不求的策略．

1. 用好对称

数学中的对称是广义的，有几何图形的对称，数量关系式结构的对称，对偶等，用起来比较灵活，而解析几何中的对称还是比较直观的，要是能灵活运用，可化繁为简，化难为易．

例４　如图2，在直线 上任取一点 ，经过 点且以椭圆 的焦点为焦点作椭圆，问当 在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出具有最短长轴的椭圆方程．

简析略解： 椭圆两焦点为 ， ，

作 关于直线 的对称点 ，要使所作椭圆的长轴

最短，即 最短，也就是

最短，故 点应是直线 与已知直线 的交点，

如图2．

直线 的方程为 ，由方程组　　　　　　　　　得点 ，由中点坐标公式得 ，故直线 的方程为 ．

解方程组　　　　　　　　　　得所求 点的坐标为（－５，４）．

由于 ，此时椭圆的方程为 ．

注：怎样能使椭圆的长轴最短？当然想到椭圆的定义．最小――折线段的和最短――三点一直线――寻找对称点――对称变换．简明的解法找到了．对称，能提供一种清晰的想象力，这种想像力常能使我们看到并发现用别的方法也许较难发现的关系．

1. 活用平几

   由于解析几何就是用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科，所以平面几何的许多知识就能使我们的思路来得直观明了．

   例5（2001年全国高考试题）设抛物线 的焦点为 ，经过 的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且 ∥ 轴，证明直线 经过原点O．

   简析略证：如图３，记 轴与准线 交点Ｅ，过Ａ作

   ，垂足为Ｄ，则 ∥ ∥ ．

   连结 ，与 相交于点 ，则由平几知识得：

   ， ，

   根据抛物线的几何性质， ， ，

   所以　 ，即 是 的中点，与抛物线的顶点Ｏ重合，所以直线 经过原点O．

2. 巧用向量

   向量是高中教材的新增内容，由于向量具有几何和代数的双重属性，以向量为工具，改变了传统的平面三角、解析几何、立体几何等内容的学习体系，使几何问题彻底代数化了，使数形结合思想体现的更深刻、更完善.

   例６　（1999年全国高中数学联赛试题）已知点 ，过点 的直线与抛物线 交于Ｂ，Ｃ两点，试判断 的形状．

   解：设 ， ， ， ， ，则有 ， ．

   ∵　Ｂ，Ｃ，Ｄ三点共线，　∴　 ∥ ．

   所以　 ＝０

   ．

   又 ＝ ＋

   ＝ ［ ＋４］＝０，

   所以　 ，故 为直角三角形．

   例７　已知圆 和两个定点 ，点Ｐ为圆Ｃ上的动点，过点Ｐ的圆Ｃ的切线为 ，点Ａ关于 的对称点为 ，求 的最大值．

   分析：本题的常规解法是：首先求出点 的轨迹方程，再利用两点间距离公式去求 的表达式（要运用点 的轨迹方程将二元函数问题转化为一元函数最值），进而求出 的最大值．这里所用的纯解析法虽然思路很直接，但求出点 的轨迹方程是一个难点，很难突破，并且运算量大，过程繁琐．而平面向量的几何计算灵活方便，运用平面向量的运算法则合理安排运算，使问题的解决变得简洁．

   解：如图1，设 与直线 交于点 ，连接 ，

   由 分别为 的中点，

   得 ∥ ，且 ．

   又 ，故 ∥ ．

   　　设 ， ，则 ，

   ，

   由题意得 ，则 ＝０，即 ＝０，

   　即 ＝０，得　 ．

   　又　 ＝ ＝

   ＝１＋ ＝－ ,

   ∵　 ，　∴　当 时， ，∴　 ．

   所以　 ，

   此时　 ，点 的坐标为（０， ２），切线方程为 ２，点 的坐标为（－１， ４）．

1. 利用极坐标

   

    

    

    

    

    

    

    

    

   例８　已知椭圆 ，直线 ： ．

   Ｐ是 上一点，射线OP交椭圆于Ｒ，又点Ｑ在OP上且满足　 ．当Ｐ在 上移动时，求点Ｑ的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．(1995年全国高考压轴题)

   解题的策略分析：本题是求动点Ｑ 的轨迹方程，即找到关于 的等式，可以用一般法来解，即设点Ｑ ，Ｑ ，Ｒ ，再布立方程组来解．但必须看到这里有 ， ， 六个末知量，这样，所立的方程组中不下五个方程，因此，即使可解，也该暂缓，看有否别的方法？从条件 知，这是一个与长度与角度有关的问题，故可用参数法求解比较简单．但不要就此停步，再看是否还有别的方法？的确，用极坐标法来解将会显得更简捷．在分辩了方法间的优劣之后，策略层面的问题已经解决，但仍不要大意，要继续细心分辩，因为在选择极坐标法来解后，还有个极点选在原点还是在椭圆左焦点的问题，它关系到极坐标方程是用统一式还是用互化式的问题，这是一个学生用极坐标法来解时常常难以选择．这里考虑到 都是从原点出发的线段长度，故选用以坐标原点为极点来解，即不用统一式而用互化式．这样，分辩清了，简捷的方法、合理的运算和要运用的知识也就自然择优而定了．

   ７．用好焦半径公式

   例９ 如图已知梯形 中 =2 , 点 分有向线段 所成的比为 ，双曲线过 、 、 三点,且以 , 为焦点，当 ≤ ≤ 时，求双曲线的离心率 的取值范围.(2000年全国高考试题)

   解题的策略分析：一看到这个题，不要说当年一些普通考生望题兴叹，就是一些基础不错的考生也没了头绪，这不但是由于它是一个双参数范围问题，而且是在未知双曲线方程的情况下来求离心率 的取值范围，再加上大家期望要用上的已知条件： ≤ ≤ 中的 ，又是大家在日常解题中着实有点感到后怕的“点 分有向线段 所成的比”．这时，一些有思维策略的学生就有了用武之地：

   他们首先从审题后看到题设中无系无方程，因此，用分而治之的策略，从建立坐标系，确立方程的形式入手：

   如图以 的垂直平分线为 轴, 以 所在的直线为 轴,建立

   直角坐标系 ,则 ⊥ 轴. 因为双曲线过 、 ,且以 , 为焦

   点,由双曲线的对称性知 、 关于 轴对称，并设双曲线方程为

   — =1 ( ＞0, ＞0), 则离心率 = ．

   在做好这一基础性工作的前题下，如何由 的范围来求 的范围就成了解决本题的思维核心，他们看到在本题这个双参数问题中， 和 既互相制约，又在一个矛盾中统一(统一在一个方程里)，这是考查学生在解题某个阶段视哪一个为主元，哪一个辅元，而在解题另一个阶段，又需要主辅互换，反客为主，真是个考查辩证思维的绝妙押轴题．这虽难，但也正是考生一显身手，展示自己思维能力的好地方，也是与众考生一决高下的分水岭．因此，他们根据 的范围已知这一条件，进而确立：先视 为主元，再视 为主元，找出两个参数之间的关系 = ，将问题转化归为已知范围，再解不等式，由此求出参数 的范围这样一个整体的思路和思维策略．

   于是，他们先视 为主元，找 的关系式：

   依题意，记 ( ,0 ) , ( , )， ( , )，其中 = 为双曲线的半焦距， 是梯形的高.由定比分点公式得： = = ， = ．

   但在如何再视 为主元，找出两个参数之间的关系 = 上，是又一次体现思维水平的层次性和思维策略的重要性．

   视角一：视点 、 为直线ＡＣ与双曲线的交点，这时，虽能把方程 代入 — =1得： ．这一常规思路虽正确，解题方向也不错，但要用上这一方程不但难，而且繁，在应试的情况下当然应另辟蹊径．思路敏锐的学生在不代前就暂时放弃了．

   视角二：视点 、 在双曲线上，将 、 的坐标和 = 代入双曲线的方程,得

   — =1 　　　　　 ①

   · — =1 　　　　　 ②

   由①得： = — 1 ③

   将③式代入②式整理得: (4 )=1+2 , 故得 =1 .

   由题设 ≤ ≤ , 得 ≤1 ≤ ,故得 ≤ ≤ .

   所以双曲线的离心率 的取值范围是[ . ]．

   视角三：视 、 为点 、E到焦点Ａ的距离，由焦半径公式得：

   ，　　 ．

   而 、 同号，从而　 ．

   所以　 　 　 ．

   由题设 ≤ ≤ , 得 ≤1 ≤ ,故得 ≤ ≤ .

   所以双曲线的离心率 的取值范围是[ . ]．

   这里同是 、 二点，但由于解题思维策略的运用，从不同的视角出发，使解题的切入点和解题的方向各不相同，对同一问题解答所用的知识、方法和也不同．，其中视角二下的方法比较简单，而视角三下的方法，运用焦半径公式来解，在简捷中更显得灵活，真是：“横看成岭侧成峰，远近高低无一同”．

   简化解答虽不是突破性的进展和创造，却也是对已经取得成果的改造和推进. 对学生来说, 则是一种对所学知识的灵活运用和高超驾驭基础上的创新, 是一种精神的升华和对数学美的追求. 从中体现出思维的批判性、深刻性、广阔性、敏捷性和解题的艺术性. 因此, 培养学生的求简精神, 不仅是正确、迅速解题的需要和保证，而且是优化思维品质、领悟数学精神、提高创新能力的有效途径.

    

    

    

    

    

附：《椭圆的几何性质》一课的教案

椭圆的几何性质—利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程

一、教学目标：

1. 知识与技能：①掌握椭圆的基本性质；②掌握利用椭圆的基本性质求椭圆的标准方程；

2. 过程与方法：由椭圆的几何性质出发，培养学生分析探索能力，熟练掌握利用几何性质求椭圆标准方程的方法；

3. 情感、态度与价值观：通过利用椭圆的几何性质求椭圆标准方程的学习，渗透几何性质与数形结合的思想，启发学生研究问题时，抓住问题本质，严谨思考，规范得出解答；培养学生自主学习能力；

4. 高考导向：①《普通高中数学课程标准（2017年版）》第44页：经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质；②《普通高中数学课程标准（2017年版）》第45页：【学业要求】：能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题；

5. 高考问题设置：①以选择、填空的形式考查利用性质求椭圆的标准方程，5分；②出现解答题的第一问求椭圆的标准方程，一般4分；

6. 重点与难点：

7. 重点：①利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程；难点：椭圆几何性质的实际应用；

8. 教学过程

   （一）复习回顾：①椭圆的几何性质；②给出椭圆的标准方程求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。

   （二）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程

   例1、（人教A版教材第48页练习3）求适合下列条件的椭圆的标准方程：

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

    

   

    

   

   

   

   

   

   

9. 求椭圆的标准方程在实际应用中的应用

   图一

   方法总结：处理与椭圆标准方程有关的实际问题的一般步骤：首先结合所给的图形及题意建立适当的坐标系，然后利用相关的几何知识分析问题。

   图二

   （三）课堂检测与作业

   

   

    

    

    

   参考答案：1、A；2、C；3、 ；4、D