白泉高中 学校校本培训活动设计

本次培训 活动主题	《函数性质习题课》作业模式探讨
培训活动 时 间	2019年10月10日 第8，9节课	本次培训活动 主 持 人	陈江南
培训活动 地 点	B幢数学组
一、开展本次培训活动的目的： 通过这次机会，借用今年高考试卷的解答题和有代表性的学生容易失分的题入手来开展这次活动。同时第一轮复习正在如火如荼进行中，复习时间最长，复习工作量最大，又是第二轮复习与第三轮复习的基础及先行者，所以一轮复习显得尤为重要。 本次活动主要是探寻数学复习效率不高的原因，为复习内容不深入，灌得太多，缺乏有针对性的复习目标等等。同时为了提高高考一轮复习的有效性，贯彻新课程理念，研究教学内容，提高课堂教学效率。切实把握教学要求，控制好复习的深度、广度和难度，避免复习的盲目性和无效性，增强复习的针对性和实效性。 通过教师的解题促进课堂的讲题，有目的性有针对性，让老师的心里更有底。
二、培训活动的主要内容： 一、探寻高三数学复习的高效率，做到复习的计划性、针对性、实效性。 二、通过讨论探索以下几点1、注重基础，重视预习。2、提高课堂听课效率，勤动手，多动脑。3、适量训练是学好数学的保证要有针对性地做题，典型的题目，应该规范地完成，同时还应了解自己，有选择地做一些课外的题;要循序渐进，由易到难，要对做过了典型题目有一定的体会和变通，即按“学、练、思、结”程序对待典型的问题，这样做能起到事半功倍的效果。是无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位独立思考是数学的灵魂，遇到不懂或困难的问题时，要坚持独立思考。 三、第一阶段为全面复习阶段，指导思想是“既要全面系统梳理知识，不留死角，又要适当突出重点”，即“由薄到厚”;目标是“切实抓住‘三基’的教与学，在准确、熟练、规范上下工夫，能解高考中、低档题”。第二阶段为综合提高阶段，指导思想是“巩固(即进一步巩固第一阶段的复习成果)、提高(即立足基础、重在综合、突出能力”，即“由厚到薄”，目标是“使学生的知识网络化，在台理、迅速上下工夫，提高学生的解题速度和解综合题的能力”。第三阶段为系统巩固阶段，指导思想是“回扣基础，积极应试”;目标是“查缺补漏，理顺知识，熟练解题思想方法，调整心态，提高应试能力”;变最后的模拟练习为找感觉、练灵活、训悟性。
三、培训活动的采用形式： 本次培训活动主要采用小组讨论和主题交流、研讨的形式。
四、培训基本过程： 1.全组教师积极讨论探寻。 2.全组教师积极讨论就提高高考一轮复习的有效性，提出相关策略。 3.就函数这一专题提出有效的解题策略。

学校校本培训活动记载

培训日期	2019年10月10日 第8、9节课	培训地点		数学组办公室
培训课时	2课时	应到人数		14	实 到 人 数	14
主讲（持）教师	陈江南	性别	男	职称	中学高级	任 职 单 位	本校
签到：陆武江 柴燕萍 郑 彦 何志超 虞军波 俞红兴 王红维 张 晶 刘灵敏 薛安定 张 慧 陈江南 胡洁莹 张梦
一、本次培训活动设计执行情况：
本次培训在活动组织设计上，通过集体备课、交流、上课，听课，评课的形式，提升了组内的教研气氛。通过研究课堂，打造课堂，进一步提高教师的专业水平、业务能力，并由此打开教师的教学思路，彰显教师教学个性，真正体现资源共享，优势互补。
二、参训教师对本次培训活动总体的反映：
㈠教学效率提高 苏霍姆林斯基说过：“任何一个教师都不可能是一切优点的全面体现者，每一位教师都有他的优点，有别人所不具备的长处。”教师之间的这种差异性资源在“同课异构”中得到了充分的利用，可以鼓励教师尝试从更多的角度思考问题，选择最优的教学方法，从而提高了教学效率。 ㈡解读教材深入 活动要求教师更加关注对教材的解读，在挖掘教材、吃透教材、把握主要内容等方面下功夫，为进一步提高集体备课质量奠定良好基础。 ㈢教学风格多彩 不同的教师面对相同的教材，结合学生实际和自身素养，选择各具特色的教学方式，赋予了静态教材以更充分地生命活力，为教师们提供了多元处理教材的宽广视角，从而形成自己教学的特色和风格。 ㈣教研氛围浓厚 需要定时进行，更需要教师不断反思，将成会学校的一项常规工作，教师的自觉行为，从而学校的教研氛围更浓厚。 ㈤合作文化建立 活动促进了教师观念的更新，有利于教师的专业发展，提升了教师个人和整个教研组的反思能力。教师之间的差异性资源，教学知识的交流与共享，有利于创建合作的教师文化。
二、您认为本次培训活动的成功之处和存在的不足：
本次培训活动组织的非常成功，希望以后有更多的机会组织这样的活动、教学交流，也可以和兄弟学校一起参与这样的活动。
三、培训作业题目：
函数性质习题课作业模式

高考数学函数部分

1. 函数的概念

2. 定义域

问题（1）常见函数定义域（求满足解析式有意义的x的取值范围）

①分式的分母不为零；

②偶次根式的被开方数大于等于零；

③对数函数中的真数大于零

例1、(2011年高考江西卷理科3)若 ，则 的定义域为

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】要使原函数有意义,只须 ,即 ,解得 ,故选A.

问题（2）复合函数的定义域

结论：①已知f（x）的定义域为（a，b），求f（g(x)）的定义域，相当于解不等式a<g(x)<b；

②已知f（g(x)）的定义域为（a，b），求f（x）的定义域，相当于求 时，整个g（x）的范围

例1：已知y=f(x)定义域为[1,2]，求y=f(2x )的定义域。

解析：1

例2：已知 y=f(x)的定义域为[0,2]，求y=f(x²)的定义域。

解析：

问题（3）实际定义域

例题3：长为L的铁丝，做成下部矩形，上部半圆的框架，设底边为2x，面积为y，求函数解析式并求定义域。并求最值。

解析：y=2x· （0＜x＜ ）

对称轴：x= ，求最值。

1. 值域

问题（4）使用不等式的变形推导y的范围

例题1：y=

解：由

所以值域 。

问题（5）f（x）= ，即 （分离常数作图）

例：求 的值域。

解析： ，为反比例函数的平移，可以作图。

问题（6）f（x）= （裂项，凑定值，使用均值不等式，验证等号成立）

例：求 的值域。

解析：

方法一：转化为均值不等式

裂项：

凑定值：

方法二：“换元法”，令t=x-1。

变形： 如果没有 等限定条件

解析： 判别法

(x-1)y=x² xy-y= x² x²-xy+y=0

=y²-4y≥0

例： ，求函数的值域。

解析：

y

问题（7）换元法

1）三角函数换元

例1：（2010北京）已知 f(x)=2cos2x+sin²x-4cosx，求函数值域。

解题思路：换元转化二次函数

f(x)=2(2cos²x-1)+(1-cos²x)-4cosx

=3cos²x-4cosx-1

=3(cosx )² ，x R

因为cosx [-1,1]

所以，当cosx=-1时f(x)取最大值6；当cosx= 时，f(x)取最小值 。

例题2：（06全国）△ABC，求角A为何值时，cosA+2cos 取最大值？

解题思路：cosA+2cos =cosA+2cos =cosA+2sin =1-2sin²A+2sin

令t=sin ，可求t，再求A。

例题3：（09全国I）若 ，则函数y=tan2xtan³x的最大值？

解：y=tan2xtan³x= =

令t=tan²x，则

所以

其中

所以y≤-8，y_max=-8。

问题（8）无理式函数求值域换元（根号多项式如果为1次幂 和 次幂则可以换元为二次函数）

例题：求 的值域。

解题思路：

方法一：换元化初等函数

令 ，则y=1-t²+t(t≥0)

方法二：求导

，单调性先增后减

问题（9）求值域之根号无法换元型借助三角换元

例题1：（2010北京文） ，求函数的最大值？

解题思路：

方法一：令t=sin ，

所以

所以

方法二：由柯西不等式(ax+by)²≤(a²+b²)(x²+y²)

所以 =4

所以

问题（10）求值域之几何意义法（距离几何意义和斜率几何意义）

例题1：（2012年海淀二模理13）某同学为研究函数 。

解答：

表(x,1)到(0,0)和(1,0)距离和最小值，利用对称可得当x= 时最小，答案值域为

练习1：

练习2： ；

问题（11）均值不等式之已知和求倒数和问题（将和乘在倒数和上，使用均值不等式）

例题1：已知x+y=1，x,y ⁺，求 的最小值。

解： ，所以最小值为4 。

例题2：（07山东）函数 的图像恒过定点A，若A在直线mx+ny+1=0上，又mn＞0，求 的最小值。

例题3：（2010宣武一模）若A，B，C为△ABC的三个内角，则 的最小值为 。

解：因为A+B+C= ，所以令A=x，B+C=y

所以

所以，最小值为 。

问题（12）均值不等式之因式分解（二次提取公因式）

例题：已知a+ab+a=3(a,b R⁺)，求a+b的最小值。

解答：a+ab+a=3 b(1+a)+a=3 b(1+a)+a+1=3+1 (b+1)(a+1)=4

练习：a,b,c,d R⁺，a²+ab+ac+bc=4，求2a+b+c的最小值。

1. 解析式

问题（13）联立方程组求解析式问题

例题：（2011湖北理）一直定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a^x-a^-x+2(a＞0且a≠1)，若g(2)=a，则f(2)=（ ）

A.2 B. C. D.a²

解：因为f(x)+g(x)=a^x-a^-x+2，又f(x)为奇函数、g(x)为偶函数

所以f(-x)+g(-x)= a^-x - a^x +2

所以-f(x) +g(x)= a^-x - a^x +2

联立方程：
 f(x)+g(x)=a^x-a^-x+2

-f(x) +g(x)= a^-x - a^x +2

则 2g(x)=4，g(x)=2

2f(x)= 2a^x-2a^-x

f(x)= a^x-a^-x

又g(2)=a，所以a=2

所以f(x)= 2^x-2^-x

所以f(2)=4

问题（14）抽象函数求解析式问题

例：设 的定义域为自然数集，且满足条件 ,及 =1,求

解：∵ 的定义域为N，取 =1,则有

∵ =1,∴ = +2, ……

以上各式相加，有 =1+2+3+……+ = ∴

例：已知 = 为奇函数,当 >0时, ,求

解:∵ 为奇函数，∴ 的定义域关于原点对称，故先求 <0时的表达式。∵- >0,∴ ,

∵ 为奇函数，∴ ∴当 <0时 ∴

1. 函数图像的性质

问题（14）函数的对称性和周期性的识别（可借助三角函数的性质来记忆）

f(x)满足：

1. f(a+x)=f(b-x)函数关于 轴对称

2. f(a+x)=-f(b-x) 函数关于 中心对称

3. f(a+x)=f(x+b) 周期

4. f(a+x)=-f(x+b) 周期

问题（15）二次对称形成周期

f(x)关于x=a和x=b对称

f(x)关于(a,0)和(b,0)对称

f(x)关于(a,0)和x=b对称

例题1：（09年全国1）函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则（ ）

A.f(x)是偶函数 B. f(x)是奇函数

C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数

解析：由f(x+1) 与f(x-1)都是奇函数得到，函数f(x)关于(1,0)和(-1,0)对称，所以二次对称推出函数具有周期性，且周期为4，而f(x+3)正好由f(x-1)平移四个单位可得，所以函数图像一致，所以f(x+3)是奇函数。

例题2：(2011年高考山东卷理科10)已知 是 上最小正周期为2的周期函数，且当 时, ,则函数 的图象在区间[0,6]上与 轴的交点的个数为

（A）6 （B）7 （C）8 （D）9

【答案】B

【解析】因为当 时, ,又因为 是 上最小正周期为2的周期函数，且 ,所以 ,又因为 ,所以 , ,故函数 的图象在区间[0,6]上与 轴的交点的个数为7个,选B.

问题（16）已知函数的性质求参数值（等式恒成立之一）

例1：（2011辽宁文）若函数 为奇函数，则a=（ ）

A. B. C. D.1

例2：（2010江苏）设函数f(x)=x(e^x+ae^-x),x∈R，是偶函数，则实数a的值为_______________。

例3、(2011年高考安徽卷江苏11)已知实数 ，函数 ，若 ，则a的值为________

【答案】

【解析】因为 ,所以 是函数 的对称轴,所以 ,所以 的值为 .

问题（17）单调性的比大小问题（函数不等式问题）

例题1：（2009天津理）已知函数 若f(2-a²)＞f(a)，则实数a的取值范围是（ ）

A. B.(-1,2)

C.(-2,1) D.

答案：C

例2： ，（1）f(0)=？，（2）f[x(x-1)]＞ ,求x的取值范围。

 

问题（18）分段函数的单调性问题

例题1：（2006北京理） 如果f(x)在R上是减函数，求a的取值范围。

解题思路：

3a-1＜0 a＜

0＜a＜1 0＜a＜1

3a-1+4a＞ a＞

问题（19）关于凹凸性图像和 的理解问题

例题1：（2005北京）对于函数f(x)定义域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂），有如下结论：

①f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂)

② f(x₁·x₂)=f(x₁)+f(x₂)

③ ＞0

④

当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 。

练习：（2012年东城二模）已知函数f(x)= ，给出下列命题：

①若x＞1，则f(x) ＞1

②若0＜x₁＜x₂，则f(x₂)-f(x₁) ＞x₂-x₁

③若0＜x₁＜x₂，则x_{2`</sub> f(x<sub>1</sub>) ＜x<sub>1`} f(x₂)

④若0＜x₁＜x₂，则 ,

其中，所有正确命题的序号是 。

答案：（1）（4）

问题（19）数形结合思想

例、（2012高考山东文12）设函数 ， .若 的图象与 的图象有且仅有两个不同的公共点 ，则下列判断正确的是

(A) 　　　　(B)

(C) 　　　　(D)

【答案】B

【解析】方法一：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，要想满足条件，则有如图 ，做出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为 ，由图象知 即 ，故答案选B.

方法二：设 ，则方程 与 同解，故其有且仅有两个不同零点 .由 得 或 .这样，必须且只须 或 ，因为 ，故必有 由此得 .不妨设 ，则 .所以 ，比较系数得 ，故 . ，由此知 ，故答案为B.

例2、（2012年高考（湖南理））已知两条直线 :y=m 和 : (m>0), 与函数 的图像从

左至右相交于点A,B , 与函数 的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在 轴上的投影长[来源:学科网]

度分别为 当 变化时, 的最小值为 （ 　　）

A． B． C． D．

例3、【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】已知函数 设 表示 中的较大值， 表示 中的较小值，记 得最小值为 得最小值为 ,则 （ ）

（A） （B）

（C） （D）

【答案】B

【解析】由 得 整理得：

1. 基本初等函数

问题（20）高中几个重要函数的图像

1. 反比例函数：

2. 指数函数：

3. 对数函数：

4. 幂函数：

5. 对钩函数：

    

6. 函数图像的变形

1．函数图象的变换

(1)平移变换

①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．

②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．

(2)对称变换

①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．

②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．

③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．

由对称变换可利用y＝f(x)的图象得到y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象．

①作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝|f(x)|的图象；

②作出y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝f(|x|)的图象．

(3)伸缩变换

①y＝af(x)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a＞1时)或缩(a＜1时)到原来的a倍，横坐标不变．

②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a＜1时)或缩(a＞1时)到原来的倍，纵坐标不变．

(4)翻折变换

①作为y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝|f(x)|的图象；

②作为y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝f(|x|)的图象．

问题（21）关于对数图像的平移变形（善于利用公式变形）

例、为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点(　　)．

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

解析　y＝lg＝lg(x＋3)－1可由y＝lg x的图象向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度而得到．

答案　C

练习：为了得到函数 的图像，可将函数 的图像上所有的点（ ）

A. 纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度

B. 纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度

C. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度

D. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度

答案：A

问题（22）图像的对称变形与函数的对称性（注意区分）

(1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.

(2)函数 与函数 的图象关于直线 对称.

(3)函数 和 的图象关于直线y=x对称.

（4）若将函数 的图象右移 、上移 个单位，得到函数 的图象；若将曲线 的图象右移 、上移 个单位，得到曲线 的图象.

例1、f(1-x)=f(1+x) 函数f(x)关于x=1对称

y=f(1-x)和y=f(1+x)，关于 对称？

解：由y=f(x)关于y轴对称变形，得y=f(-x)

而y=f(x)到y=f(1+x)为向左移1个单位

y=f(-x)到y=f(1-x)为向右移1个单位

所以y=f(1-x)和y=f(1+x)依然关于y轴对称。

问题（23）指对数的底数和图像的关系（单调递增时，越大越靠近轴，单调递减时，越小越靠近轴）

例、(2011年高考天津卷理科7)已知 则

A． 　　B．

C． 　　D．

【答案】C【解析】令 ， ， ，在同一坐标系下作出三个函数的图象，

由图象可得 ，

问题（24）指对数的比较大小问题（利用整数隔开，放大，和对数的换底公式取倒数比较）

例题1：已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）

A. a＜b＜c B. c＜a＜b C. a＜c＜b D. b＜c＜a

答案：C

解题思路：

例题2、【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】设 =log₃6,b=log₅10,c=log₇14,则（ ）

（A）c＞b＞a （B）b＞c＞a （C）a＞c＞b (D)a＞b＞c

【答案】D

问题（25）图像的应用之等式和零点

例、【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】函数 的零点个数为（ ）

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

附录：函数的性质总结

1. .函数的单调性

(1)设 那么

上是增函数；

上是减函数.

(2)设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果 ，则 为减函数.

注：如果函数 和 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 也是减函数;如果函数 和 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 是增函数.

1. 奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

注：若函数 是偶函数，则 ；若函数 是偶函数，则 .

注：对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴是函数 ;两个函数 与 的图象关于直线 对称.

注：若 ,则函数 的图象关于点 对称;若 ,则函数 为周期为 的周期函数.

1. 多项式函数 的奇偶性

多项式函数 是奇函数 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数 是偶函数 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数 的图象的对称性

(1)函数 的图象关于直线 对称

.

(2)函数 的图象关于直线 对称

.

1. 两个函数图象的对称性

(1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.

(2)函数 与函数 的图象关于直线 对称.

(3)函数 和 的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数 的图象右移 、上移 个单位，得到函数 的图象；若将曲线 的图象右移 、上移 个单位，得到曲线 的图象.

1. 互为反函数的两个函数的关系

.

27.若函数 存在反函数,则其反函数为 ,并不是 ,而函数 是 的反函数.

1. 几个常见的函数方程

(1)正比例函数 , .

(2)指数函数 , .

(3)对数函数 , .

(4)幂函数 , .

(5)余弦函数 ,正弦函数 ， ，

.

1. 几个函数方程的周期(约定a>0)

（1） ，则 的周期T=a；

（2） ，

或 ，

或 ,

或 ,则 的周期T=2a；

(3) ，则 的周期T=3a；

(4) 且 ，则 的周期T=4a；

(5)

,则 的周期T=5a；

(6) ，则 的周期T=6a.

1. 分数指数幂

(1) （ ，且 ）.

(2) （ ，且 ）.

1. 根式的性质

（1） .

（2）当 为奇数时， ；

当 为偶数时， .

1. 有理指数幂的运算性质

(1) .

(2) .

(3) .

注：若a＞0，p是一个无理数，则a^p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

_.

34.对数的换底公式

( ,且 , ,且 , ).

推论 ( ,且 , ,且 , , ).

1. 对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

(1) ;

(2) ;

(3) .

注：设函数 ,记 .若 的定义域为 ,则 ，且 ;若 的值域为 ,则 ，且 .对于 的情形,需要单独检验.

1. 对数换底不等式及其推论

若 , , , ,则函数

1. 当 时,在 和 上 为增函数.

2. (2)当 时,在 和 上 为减函数.

   推论:设 ， ， ，且 ，则

   （1） .

   （2） .