白泉 高中数学2020学年度高三数学二轮复习

函数系列之指数函数 ③

教学目标

1.  理解指数函数有关的基本概念；

2.  掌握指数函数的性质和图像。

【解读：对指数函数，首先要理解日常生活中的实际背景，理解、掌握指数函数的基本性质、图像特征；其次，在研究函数性质的过程中体验分类讨论、数形结合等数学思想，关注对指数函数底数的分类讨论，在解题过程中常思考函数图像特征；再次，应掌握指数函数经过平移、对称变换后所得函数的性质。】

知识梳理                                                  

1．指数函数的定义：

一般地，我们把函数 ( 且 )叫做指数函数.

2．指数函数的图像与性质

3．值得注意的几个问题

（1）会根据复合函数的单调性特征“同增异减”，判断形如 ( 且 )函数的单调性；

（2）会根据 ( 且 )的单调性求形如 ， 的值域；

（3）解题时注意“分类讨论”、“数形结合”、“换元”等思想方法的应用。

典例精讲                                                  

例1．（★★★）已知函数 是 上的奇函数，当 时， 。

（1）判断并证明 在 上的单调性；

（2）求 的值域；

【本题以指数函数为背景，考察了函数的奇偶性、单调性和值域，综合性很强。本题原有第（3）问，牵扯解指数不等式，上海考纲中并未对“指数不等式”做要求，故只保留（1）（2）问。】

解：（1）当 时， ，令 ， ，

由函数 在 上是递减的，且 知 在 上是递增的，

所以 在 上是递增的。

证明：对任意 ，

因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，

故 ， 。

所以 ，即 ，所以 在 上单调递增。

（2）因为 单调递增，所以 ，令 ，

由 知 ，故对 有 。

由于函数 是奇函数，所以其值域为 。

例2. （★★★）设函数

（1）分别作出 和 的图像；

（2）求实数 的取值范围，使得方程 与 都有且仅有两个实数解．

【对含绝对值函数的图像如果不了解，可以先从简单的讲起，比如 ， 三者之间的关系，进而说明 之间的关系。】

【 的图像是保留 右侧的图像不动，左侧由右侧关于 轴向左翻折之后得到的； 的图像是保留 上方的图像不动，下方关于 轴向上翻折后得到。】

解：（1）

（2）由图像可知，当 时， 有且仅有两个解；

当 时， 有且仅有两个解，所以 的范围是 。

例3. （★★★）要使函数 在 上 恒成立，求 的取值范围。

解：由题意，得 ，在 上恒成立，即 在 上恒成立，

又因为 ，

当 时，值域为 ，所以 。

【函数的恒成立问题，本题选用的是分离参数法，也可考虑利用二次函数类型进行分类讨论。相对来讲，分离参数法比较方便。】

巩固练习

（★★★★）设 是由符合下列性质的函数 组成的集合：对任意的 ，且 在 上是减函数．

（1）判断 及 是否属于集合 ?并简要说明理由；

（2）把（1）中你认为属于集合 的一个函数记为 ，若不等式 对于任意的总成立，求实数 的取值范围。

解：（1）因为 ，所以 不在集合 中，

又因为 ，所以 ，

从而 ，又 在 上为减函数，

故 在集合 中。

（2）由 对任意 总成立，知 ，

因为 ，

所以 ，故 。

回顾总结                                                  

1.       指数函数的单调性需要分     和 进行讨论      ；

对可化为 或 （ ）的指数函数、方程或不等式，常借助     换元    方法解决，但应注意  换